1. 서론
현대 사회는 에너지, 물, 통신, 교통 시스템 등과 같은 다양한 중요 인프라에 의존합니다. 영향력이 크고 예측할 수 없는 사건이 점점 더 많아지면서 이러한 시스템에 영향을 미치고 우리 사회에 심각한 결과를 초래하고 있습니다. 2011년 후쿠시마 원전 사고가 대표적이다. 신뢰성 및 위험 분석에 대한 전통적인 접근 방식은 위험 식별과 후속 시나리오 개발에 의존하며 알려지지 않은 위협이나 예측할 수 없는 이벤트를 관리할 수 없습니다. 대조적으로, 회복력의 개념은 기존의 신뢰성 분석 외에도 예측 가능하거나 예측할 수 없는 심각한 중단 이후의 복구 조치에 중점을 둡니다.
복원력은 생태학자 Holling에 의해 처음으로 시스템이 변화를 흡수하는 능력으로 인해 발생하는 지속성의 척도로 정의되었습니다[1]. 엔지니어링 시스템의 경우 Bruneau et al. Resilience는 시스템이 충격의 가능성을 줄이고, 충격이 발생한 경우 충격을 흡수하고, 충격 후 신속하게 회복하는 능력으로 탄력성을 정의했습니다[2]. 보다 구체적으로 말하면, 복원력이 있는 시스템은 (i) 실패 확률 감소, (ii) 실패로 인한 결과 감소, (iii) 복구 시간 단축을 보여주는 시스템입니다.
이러한 주요 특징을 포착하는 광범위한 탄력성 측정은 그림 1에 설명된 개념으로 표현될 수 있습니다. \(P(t)\) 인프라 시스템 내에서 정상적으로 작동하는 구성 요소의 수와 같은 인프라 성능에 대해 정의됩니다. 구체적으로 성능 범위는 0%에서 100%까지입니다. 여기서 100%는 서비스 저하가 없음을 의미하고 0%는 사용 가능한 서비스가 없음을 의미합니다.
그림 1의 성능 반응 과정은 세 가지 단계로 나눌 수 있다[3]. 첫 번째 단계는 범위를 갖춘 방재 단계입니다. \((0, t_0)\) 가능한 모든 위험을 방지하고 1% 시스템 성능을 유지하기 위한 시스템의 저항 능력은 이 단계에서 중요한 측면입니다. 이 단계에서는 복원력을 향상시키기 위해 견고성 및 중복성과 같은 기존 신뢰성 기술을 수행할 수 있습니다[100]. 두 번째 단계, \((t_0, t_1)\), 피해 전파 단계입니다. 지진 등의 충격이 수시로 발생하는 경우 \(t_0\), 시스템에 손상을 주어 성능이 일시적으로 50%까지 저하될 수 있습니다. \(t_1\). 이 단계에서는 초기 손상의 충격을 흡수하고 결과를 최소화하는 능력이 필요합니다. 그림 100의 최대 저하 수준인 50%-1%는 시스템의 흡수 용량을 측정하는 데 사용됩니다. 세 번째 단계, \((t_1, t_2)\), 복구 프로세스입니다. 해당 기간 동안 시스템 손상 정보를 수집하고 복구 자원을 할당하여 성능을 복원합니다. 복구 작업의 지략과 신속성이 주요 특성입니다. 복구 시간과 복구 비용은 복원 용량을 나타내며 이 단계의 탄력성을 특성화하는 데 도움이 됩니다. “R4 프레임워크”는 견고성(Robustness), 중복성(Redundancy), 자원충실성(Resourcefullness), 신속성(Rapidity)이라는 2가지 핵심 속성을 종합적으로 평가하기 위한 프레임워크이다[XNUMX].
세 단계는 중단에 대한 일반적인 시스템 대응 주기를 구성합니다. 시스템 복원력을 향상시키기 위해서는 세 가지 단계에 걸쳐 개선 전략을 수행해야 합니다[3]. 5단계와 6단계의 복원력을 향상시키기 위해 신뢰성 공학이 사용되었음에도 불구하고, XNUMX단계의 복원력은 집중되지 않았습니다. XNUMX단계 회복탄력성을 향상시키기 위해 효율적인 의사소통 채널을 구축하고 신속한 복구 대응을 조율하며[XNUMX], 실행 가능한 복구 전략을 빠르고 정확하게 식별하기 위한 의사결정 지원 플랫폼을 개선하는 등 여러 가지 전략이 제안됩니다[XNUMX].
세 번째 단계의 탄력성을 측정하기 위해 Caputo et al. [7]은 복원을 받는 복원력을 다음과 같이 정의했다.
\[\begin{equation*} R={1 \over t_2-t_0}\int_{t_0}^{t_2} P(t) dt. \tag{1} \end{equation*}\] |
이는 충격 발생부터 복원 완료까지 시스템의 평균 성능으로 정의됩니다. 여기 \(P(t)\) 복원기간에는 문제를 식별하고 우선순위를 설정하며 자원(물적, 인적 자원)을 동원하는 능력인 지략에 달려 있다. 유용한 자원이 제한된 조건에서 평균 수리 시간 \(t_2-t_0\) 주로 초기 성능 저하 수준에 따라 결정됩니다. 이 경우 복원 전략, 특히 복원 우선순위를 설정하는 전략은 식에서 복원력을 높이는 데 중요한 역할을 합니다. (1). 그림 1의 검은색 선은 표준 복원 전략에 따른 복원 과정을 나타내고 파란색(빨간색) 선은 우수한(열등한) 전략의 복원 과정을 보여줍니다. 제한된 수리 자원으로 인해 세 가지 전략의 총 복구 시간은 동일하지만 복원 중 성능 수준은 다릅니다.
[2], [7]의 정의를 기반으로 엔지니어링 시스템의 탄력성을 정량화하거나 평가하기 위해 많은 연구가 수행되었습니다. 이들 중 다수는 특정 재해 발생 시 시뮬레이션을 통해 시스템의 복원력을 평가합니다. 대표적인 예로서 Guzs et al. 다양한 재난 발생 및 복구 시나리오에서 회복력을 얻기 위해 다른 네트워크에 연결되지 않은 전력망의 구체적인 예를 사용했습니다 [8]. Ziweiet al. 는 수리 시간이 로그 정규 분포를 따를 때 열차 운행 관리 시스템의 복원력을 평가했습니다[9]. Ganinet al. 그래프 이론 접근법을 사용하여 작동 노드 수를 계산하고 탄력성을 계산했습니다 [10]. 다중 위험의 예로 Cimellaro는 복원력을 특정 기간 동안 시스템 성능 곡선 아래의 영역으로 정의했습니다[11]. 또한, Ouyang et al. 다양한 유형의 재난으로 인해 네트워크 내 변전소의 장애를 고려하여 3년 동안 전력망 네트워크의 평균 복원력을 계산했습니다[12]. 여기서는 각 재난의 도래는 포아송 분포(Poisson distribution)를 따르며 미리 정해진 재난 발생 확률에 따라 13가지 유형의 피해가 발생한다고 가정했다. 또한, 평균 복원력에 큰 영향을 미치는 수리 완료 시간은 정규 분포를 따르는 난수에 의해 결정되었습니다. 복원력에 대한 다른 연구에는 수학적 회복 프로세스 모델링, 즉 복원 시 성능 곡선을 함수로 결정하는 것이 포함됩니다[XNUMX], [XNUMX]. 과거 회복탄력성 분석에 관한 연구는 일부 연구에서 악화에 대한 확률론적 과정을 포함하고 있지만 시뮬레이션 연구에 기반한 분석에 중점을 두었습니다. 탄력성에 대한 분석 솔루션은 제안되지 않았습니다. 그 이유는 대규모 재해 발생을 모형화하기 어렵고, 장비 고장과 시스템 성능 사이의 관계를 정의하기 어렵고, 다양한 요인을 고려한 복구 과정을 확률론적 과정으로 모형화하기 어렵기 때문이다. 복원력 연구의 또 다른 문제점은 각 XNUMX단계의 복원력이 개별적으로 평가되며, 전체 시스템 복원력을 평가할 수 있는 포괄적인 척도가 없다는 점입니다.
본 문서에서는 인프라 네트워크의 탄력성에 대해 논의했습니다. 에지(Edge)만 실패할 수 있고 네트워크의 성능은 연결된 노드, 소스 노드로부터 패스를 받은 노드(정점)의 비율로 측정되는 전력 네트워크가 대상 네트워크로 가정됩니다.
복원 모델링은 복원력을 분석하는 핵심 요소입니다. 복원을 위한 자원은 제한되어 있고 실패한 Edge는 하나씩 복구된다고 가정합니다. 또한, 복원 전략으로 여러 Edge가 고장난 경우 수리 순서를 결정하는 우선순위 수리 정책을 채택합니다. 수리 순서는 수리 완료 후 시스템 성능 증가량이 가장 큰 에지를 우선순위로 결정된다.
본 논문에서는 두 가지 유형의 회복력을 논의하는데, 하나는 회복 단계의 회복력이고 다른 하나는 1단계의 회복탄력성을 통합한 회복력이다. 첫 번째는 Eq.를 기반으로 한 탄력성입니다. (3) 단일 중단 후 복구 프로세스의 복원력에 중점을 둡니다. 복원력은 네트워크 성능 저하가 주어지고, 실패한 모든 에지에 대해 하나씩 복원이 수행된다는 가정하에 쉽게 공식화됩니다. 그것은 섹션에서 제시됩니다. 14. 두 번째는 네트워크 상태가 확률적으로 변화하는 장기적인 운영을 고려하여 실현됩니다. 이 경우 복원력 측정은 16단계뿐만 아니라 17단계와 18단계의 복원력도 고려해야 한다. 본 논문의 주요 특징은 대규모 혼란의 발생을 나타내고 분석적으로 해결할 수 있는 확률론적 프로세스 모델을 제안하는 것입니다. 공통 원인 실패(CCF)가 통합되어 중단 발생을 확률적으로 나타냅니다. CCF는 대규모 혼란의 주요 요인 중 하나입니다. 이는 신뢰성 및 위험 공학 분야에서 널리 연구되고 있습니다[4]-[1]. 단일 근본 원인 이벤트 발생으로 시스템의 이중화를 무효화합니다. Marshall-Olkin 유형 충격 모델은 CCF를 평가하는 수학적 모델 중 하나입니다[100], [XNUMX]. CCF는 모델에 외부 충격이 발생하여 발생하는 것으로 가정됩니다. 섹션에서는 장기 운영에 따른 탄력성을 평가하기 위해 "운영 탄력성"과 "복구 단계의 운영 탄력성"이라는 두 가지 측정 방법이 도입되었습니다. XNUMX. 복구단계 운영 복원력은 전체 운영 기간 중 복구 기간의 복원력을 나타냅니다. 이는 Eq.의 탄력성의 자연스러운 확장입니다. (XNUMX) 장기적인 운영을 고려합니다. 반면, 운영 탄력성은 새로운 포괄적인 탄력성 척도입니다. 네트워크 성능을 XNUMX% 유지하는 능력을 포함하여 전체 운영 기간 동안의 네트워크 복원력을 평가합니다. CCF 발생률과 수리율이 일정하다는 가정하에 두 가지 운영 복원력 측정에 대한 분석 솔루션을 얻기 위해 Markov 프로세스가 사용됩니다. 우리는 또한 복잡한 네트워크에 대한 두 가지 근사 방법을 제안합니다. 근사 방법의 적용 가능성과 정확성을 검증합니다.
이 논문의 나머지 부분은 다음과 같이 구성됩니다. In Sect. 2에서는 대상 네트워크가 명확해지고 성능 측정 및 복구 전략이 정의됩니다. 섹션 3에서는 네트워크가 대규모 중단을 겪을 때 복구 프로세스의 탄력성에 대해 논의합니다. 이 섹션의 복원력은 결정론적으로 발생한 동시 오류로부터의 복원에만 중점을 둡니다. 이 경우 회복탄력성이 수학적으로 공식화될 수 있음을 보여줍니다. 우선순위 복구 전략의 효과는 본 절에서 검증된다. 섹션 4에서는 대규모 중단이 확률적으로 발생할 때의 복원력에 대해 논의합니다. 운영 복원력과 복구 단계의 운영 복원력이 정의됩니다. 두 가지 운영 탄력성 측정값은 Monte Carlo 시뮬레이션과 Markov 분석을 통해 파생됩니다. Markov 분석을 위한 정확한 해와 두 가지 근사 방법이 제안됩니다. 근사치의 정확성은 수치 예를 통해 검증됩니다. 우리는 섹션에서 우리의 작업을 요약합니다. 5.
2. 모델 설명
2.1 네트워크
우리는 정의 \(G=(V,E)\) 주어진 네트워크로서, 여기서 \(V=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\) 노드의 집합입니다. \(E=\{e_1,e_2,\ldots,e_m \}\) 는 모서리의 집합이고 \(n\) (\(m\))는 노드(에지)의 수입니다. 마디 \(v_1\) 소스 노드입니다. 각 모서리는 방향성 또는 양방향성입니다. 설명을 단순화하기 위해 에지 오류에 중점을 두지만 개념은 노드 오류를 포함하도록 확장될 수 있습니다. 그런 다음 네트워크 상태는 다음과 같이 설명됩니다. \(m\)- 요소가 이진수로 주어진 각 모서리의 상태인 차원 벡터(근사를 위해 상태 정의가 변경되는 섹션 4.4 제외).
2.2 성능 측정
측정 \(P(t)\) 전체 운영 노드의 비율입니다. \(n\) 노드, 여기서 작동 노드는 노드에 대한 하나 이상의 경로를 의미합니다. \(v_1\) 존재합니다. 모든 가장자리의 상태가 고정되어 있으면 성능 측정 \(P(t)\) 네트워크의 도달 가능성 매트릭스를 사용하여 파생됩니다. 허락하다 \(G'(t)\) 기능하지 않는 가장자리와 노드가 제거되는 하위 그래프입니다. \(G\) 시간에 \(t\)및 \(A(t)\) 의 인접 행렬이 됩니다. \(G'(t)\), 누구의 항목인지 \(a_{ij}(t)\) 바이너리입니다: 노드인 경우 \(i\) 노드에 인접하거나 직접 연결되어 있음 \(j\) 시간에 \(t\)다음, \(a_{ij}(t)=1\); 그렇지 않으면 \(a_{ij}(t)=0\). 도달 가능성 매트릭스 \(A_r (t)\) 불리언 연산을 수행하면 다음과 같이 주어진다.
\[\begin{equation*} A_r(t)=(I+A(t))^{n-1}, \tag{2} \end{equation*}\] |
어디에, \(I\) 이다 \(n\times n\) 단위 행렬. \(A_r (t)\) 는 이진 행렬이고 행렬의 첫 번째 행은 노드로부터의 도달 가능성을 나타냅니다. \(v_1\) 다른 노드에. 그 다음에 \(P(t)\) 다음과 같이 주어진다.
\[\begin{equation*} P(t)={\pi_0 A_r(t) u^{\mathrm{T}} \over n}, \tag{3} \end{equation*}\] |
어디에 \(\pi_0=(1,0,\ldots,0), u=(1,1,\ldots,1)\). 획득 \(P(t)\) 식으로 (3)은 다음을 계산해야 하기 때문에 비효율적입니다. \((n-1)\)인접 행렬의 거듭제곱입니다. 따라서 다음과 같은 단순 재귀 알고리즘이 유용합니다.
알고리즘 1 (연결된 노드 수)
입력: 인접 행렬, \(A(t)\)
출력: 연결된 노드 수, \(s(t)\)
- 하자 \(S(t)\) 빈 배열이고 소스 노드를 추가합니다.
- 다음에서 노드 하나를 선택하세요. \(S(t)\), 노드라고 말해보세요 \(i\)
- 노드 추가 \(j\) 에 \(S(t)\) 경우 \((i,j)\) 의 요소 \(A(t)\) 1과 같고 \(j\notin S(t)\).
- 모든 노드에 대해 2와 3을 반복합니다. \(S(t)\).
- \(s(t)=|S(t)|\).
2.3 우선 수리 정책에 의한 Edge 복원
복원의 경우 모서리가 파손되자마자 복원이 시작됩니다. 즉, \(t_0=t_1\) 그림 1에서. 자원이 제한되어 있다는 제약 하에서 실패한 가장자리는 하나씩 복구됩니다. 복원 분포는 매개변수에 따라 지수적으로 나타납니다. \(\mu\). 따라서 복구 단계의 성능 곡선은 그림 1과 같은 계단 함수이다. 여러 개의 실패한 Edge를 복구하는 순서는 복구가 완료된 후 시스템 성능 증가량이 가장 큰 Edge를 우선순위로 결정됩니다. 수리하다. 허락하다 \(Q(t)\) 시간에 실패한 가장자리의 집합이 됨 \(t\). 최적의 수리 엣지 \(e^*\) 다음과 같이 선택됩니다.
\[\begin{equation*} e^*=\arg\max_{e \in Q(t)}P(t'), \tag{4} \end{equation*}\] |
어디에, \(t'\) 엣지가 회복되는 시대다. \(e\) 완성 됐습니다.
3. 특정 혼란에 대한 회복력
이 섹션에서는 특정 상황의 복원력에 대해 설명합니다. \(d\) 대규모 중단으로 인해 가장자리에 오류가 발생했습니다. 중단 발생은 결정적이며 이 섹션에서는 주어진 동시 오류 이후의 복구 프로세스만 논의합니다.
상태를 보자 \(i\) 네트워크 상태가 되어야 합니다. \(i\)-번째 수리(\(i=1,2,\ldots,d\))의 Edge가 진행 중이며 \(p_i(t)\) 그 당시 상태의 확률이 되다 \(t\)어디로 \(t\) 중단 후 경과된 시간입니다. 초기 상태는 상태 1이며 다음 중 하나입니다. \({( \begin{array}{c} m\\ d \end{array} ) }\) 네트워크가 있음을 나타냅니다. \(d\) 실패한 가장자리. 주 번호 \(i\) 에서 전환된 네트워크 상태에 대해 연속 정수로 명시적으로 명명됩니다. \(t=0\)비록 \(i\) 이 경우 처음부터 수리 횟수를 나타냅니다. 계산 과정 \(i(t)\) 매개변수를 사용하여 출생 과정을 따릅니다. \(\mu\) 우리 모델에서 확률은 다음과 같이 주어진다.
\[\begin{equation*} p_i(t)={(\mu t)^{i-1} \over (i-1) ! } e^{-\mu t} \quad {\rm for}\quad i=1,\ldots,d \tag{5} \end{equation*}\] |
성과를 참고하세요 \(P(t)\) 시간에 \(t\) 부분적으로 일정하며 네트워크 상태에만 의존합니다. 허락하다 \(P_i\) 국가의 성과가 되다 \(i\). 모두의 예상 수리 시간 \(d\) 가장자리는 \(d/\mu\). 회복 단계의 평균 탄력성, \(\bar R\), 다음과 같이 주어진다.
\[\begin{equation*} \bar R={\mu \over d} \sum_{i=1}^d P_i \int_0^\infty p_i(t) dt={1 \over d}\sum_{i=1}^d P_i. \tag{6} \end{equation*}\] |
Eq.의 마지막 방정식. (6)은 Erlang 분포의 성질에 의해 유도된다. 식 (6)은 탄력성이 매개변수에 의존하지 않음을 보여줍니다. \(\mu\) 프로세스 중 평균 성능으로 제공됩니다.
식 (6)은 복원 용량이 제한되어 있고 실패한 가장자리가 하나씩 수리되는 경우 복원력이 복원 분포에 의존하지 않음을 나타냅니다. 복원 명령에 의해 결정된 성능 수준에만 의존합니다. 일반적으로 \(M(t)\) 평균이 있는 복원 분포 \(\tau\), 평균 상태 지속 기간 \(i\) (\(i=1,2,\ldots, d\))이다 \(\tau\), 중단 후 평균 탄력성 \(d\) 실패한 가장자리는
\[\begin{equation*} \bar R = {1 \over \tau d} \sum_{i=1}^d \tau P_i = {1 \over d}\sum_{i=1}^d P_i. \tag{7} \end{equation*}\] |
예제 1
그림 2의 전력망은 샘플 네트워크로 분석된다. 이 네트워크에는 9개의 노드와 14개의 에지가 있습니다. 가장자리는 양방향입니다. 마디 \(v_1\) 발전소와 발전소 사이의 라인에 연결되어 있습니다. \(v_1\) 신뢰할 수 있는 것으로 추정됩니다. 만약 사고로 인해 하나의 에지가 다운되더라도 모든 노드는 노드로부터 최소한 하나의 경로를 가집니다. \(v_1\). 이러한 중복 구조를 이라고 합니다. \(N\)-1 전력 시스템의 보안 [4].
8개의 모서리를 보자 \(e_1, e_2, e_4, e_5, e_6, e_7, e_{11}, e_{14}\) 동시에 실패했습니다. \(t=0\). 표 1은 우선순위 복구에 따른 복구 엣지와 각 상태별 성능을 보여준다.
상태 1은 성능이 있는 초기 상태입니다. \(2/9\). 첫째, \(e_7\) 수리 완료 후 6월 9일까지 성능이 회복되므로 우선수리 정책에 의해 선정됩니다. 상태 1은 또한 \(e_7\) 겪고 있습니다. 수리 완료 후 \(e_7\), 이 예에서는 다른 모든 실패한 가장자리에 우선 순위가 없습니다. 이 경우 모서리를 무작위로 선택하여 복구합니다. 표 1의 복원 순서에 대한 복원력은 다음과 같습니다. \((2+6+7+8+9+9+9)/(9 \times 8)=0.8194\) 식으로 (6). 첫 번째와 두 번째로 수정해야 할 모서리의 순서가 거꾸로인 경우, 즉 \(e_1\) 첫 번째입니다, \(e_7\) 둘째, 회복탄력성이다. \((2+3+7+8+9+9+9)/(9 \times 8)=0.6528\). 평균 복원력은 수리 순서에 의해서만 결정됩니다.
다음으로 우선순위 복원의 유효성을 확인해 보자. 우리는 그림 2에서 네트워크의 복원력을 얻기 위해 Monte Carlo 시뮬레이션을 수행했습니다. 여기서 동시 실패 수와 실패한 에지의 조합이 모두 무작위로 선택되었습니다. 그림 3은 우선 복원을 수행할 때 1,000개 샘플의 복원력 값을 보여줍니다. 그림 4는 비교를 위해 우선순위 복원이 없는 복원력을 보여줍니다. 이 경우 복구 모서리는 하나씩 무작위로 선택됩니다. 두 그림 모두에서 파란색 또는 빨간색의 "x"는 하나의 샘플의 탄력성을 나타냅니다. 예를 들어, 동시 실패 횟수가 1이고 어느 하나의 에지가 실패하면 복원 중 평균 복원력은 XNUMX입니다. \(N-1\) 보안. 이 경우 우선순위와 무작위 수리 정책 사이에는 차이가 없습니다. 그러나 둘 이상의 에지가 실패한 경우 복원력은 실패한 에지의 조합과 복구 정책에 따라 달라집니다. 그림 5는 두 가지 수리 전략에 대한 탄력성의 평균 값을 보여줍니다. 동시 실패 횟수가 증가할수록 우선순위 복원 효과는 커집니다.
4. 운영 탄력성
이 섹션에서는 확률론적 프로세스(유한 상태 마르코프 체인)로서의 네트워크 복원력에 대해 설명합니다. 첫째, 엣지 동시 장애 발생으로 인한 중단 발생을 정의한다. 그런 다음 장기 운영 시 복원력 측정이 정의됩니다. 정의에 따른 몬테카를로 시뮬레이션 결과를 보여줍니다. 마지막으로 Markov 체인 솔루션과 그 근사치가 제시됩니다.
4.1 Edge의 실패
모든 노드는 완벽하게 작동하지만 각 에지는 독립적으로 또는 동시에 장애가 발생할 수 있습니다. Marshall-Olkin 유형 충격 모델 및 \(\alpha\) 요인법은 모델 CCF에 다음과 같이 적용됩니다.
- 외부 충격에 따른 CCF의 결과로 Edge가 독립적으로 또는 다른 Edge와 동시에 실패할 수 있습니다.
- 다음의 \(2^m-1\) 일종의 충격. 충격은 서로 독립적이며 충격의 크기는 다음과 같이 구분됩니다. \(m\) 유형. 수준이면 \(r\) (\(r=1,2,\ldots,m\)) 충격이 발생하면 무작위로 선택됩니다. \(r\) 가장자리가 동시에 실패합니다. 외부 충격은 모서리 상태와 관계없이 도착합니다. 즉, 모서리가 이미 실패했더라도 충격의 영향을 받는 모서리가 선택될 수 있습니다.
- 충격 도달 시간의 분포는 기하급수적입니다. 주어진 네트워크의 총 충격 발생률은 다음과 같습니다. \(\lambda\). 수준의 CCF 발생률 \(r\) 충격, \(\lambda_r\)이다 \(\alpha_r \lambda\). 이리, \(\alpha_r\) 라고 부른다. \(\alpha\) CCF의 매개변수. 특정 조합의 CCF 발생률 \(r\) 가장자리, \(\lambda'_r\), 이다, \(\lambda_r / (\begin{array}{c} m\\ r \end{array} ).\)
4.2 운영 탄력성
운영 가용성은 다음과 같이 정의됩니다. (8) 신뢰성 공학.
\[\begin{equation*} A_O={{\rm MUT} \over {\rm MUT}+{\rm MDT}}, \tag{8} \end{equation*}\] |
여기서 MUT와 MDT는 각각 시스템의 평균 가동 시간과 평균 가동 중지 시간입니다. 인프라 시스템에서 가동 시간은 서비스 저하가 없음을 의미합니다. \(P(t)=100\%\), 그렇지 않으면 가동 중지 시간입니다. 그림 6(a)는 \(P(t)\) 운영 가용성의 개념을 보여줍니다. 충격의 발생과 회복이 반복되는 시간과정을 고려한다면, MUT는 충격의 지속시간에 대한 기대이다. \(P(t)=100\%\) MDT는 다음과 같은 기간에 대한 기대치입니다. \(P(t)<100\%\). MDT는 평균 수리 시간에 해당하며 중복 구조가 없는 시스템의 수리 자원 용량에만 의존하고 그렇지 않으면 자원과 복원 전략에 모두 의존합니다. \(A_O\) 시스템의 견고성과 중복성을 고려한 긴 수명 내 가동 시간의 비율입니다.
이 섹션에서는 운영 탄력성이라는 새로운 탄력성 측정값을 제안합니다. 운영 복원력은 운영 및 복원의 실제 조건에서 경험되는 복원력입니다. 허락하다 \(EP_{DT}\) ~의 기대가 되다 \(P(t)\) 가동 중지 시간 동안(그림 6(b)). 운영 복원력은 장기간 동안의 평균 성능 척도이며(그림 6(c)) 다음과 같이 제공됩니다.
\[\begin{eqnarray*} R_O&=&{{\rm MUT} +{\rm MDT}\cdot EP_{DT} \over {\rm MUT}+{\rm MDT}} \tag{9} \\ &=&1-{ED_{DT} \over {\rm MUT}+{\rm MDT}},\nonumber \end{eqnarray*}\] |
어디에 \(ED_{DT}=1-EP_{DT}\) 가동 중단 기간 동안 성능 저하가 예상됩니다. 몬테카를로 시뮬레이션에서는 \(EP_{DT}\) 시뮬레이션의 각 단계에서 경과된 시간을 측정하고 그에 해당하는 상태의 성능을 계산하여 얻을 수 있습니다. \(P(t)\) 방정식에서. (3) 즉, 복원 기간 동안 실제 성능 곡선 아래 면적의 합을 구합니다. 운영 탄력성은 시스템의 포괄적인 탄력성 용량을 나타내는 척도입니다. 이를 통해 복원단계(1절의 XNUMX단계)뿐만 아니라 재해예방 및 피해전파 단계(XNUMX, XNUMX단계)에서도 복원력을 고려한 시스템 평가가 가능하다. 탄력성을 높이려면 MUT를 늘리고 줄여야 합니다. \(ED_{DT}\). MUT 증가는 시스템의 견고성, 중복성 및 흡수 용량을 개선하여 실현됩니다. 1단계와 2단계의 조치입니다. 감소 \(ED_{DT}\) 세 번째 단계의 주요 주제입니다.
Eq.의 탄력성에 주목하십시오. (1)은 초기 성능 저하가 주어지고 복원 중에 더 이상 시스템 성능 저하가 발생하지 않는다는 가정 하에 중단 발생과 복원 완료 사이의 평균 성능으로 정의됩니다. \(EP_{DT}\) Eq.의 탄력성의 자연스러운 확장입니다. (1) 오랜 기간 복원의 실제 경험을 고려한다. 여기서 우리는 재정의합니다 \(EP_{DT}\) 복구 단계의 운영 탄력성으로 다음과 같이 표시합니다. \(R_{OR}\). \(R_{OR}\) 다음과 같이 주어진다;
\[\begin{equation*} R_{OR}={R_O-A_O \over 1-A_O}. \tag{10} \end{equation*}\] |
방정식 (10)은 Eq. (9) 즉, \(R_O=A_O+(1-A_O) R_{OR}\).
예제 2
그림 2의 네트워크에 대해 우리는 \(\lambda_1\)= 0.01 및 \(\lambda_r\)=\(\lambda_{r-1}/1.4\) for \(r=2,\cdots,14\)및 \(\mu\)=0.1. 우리는 개별 이벤트 기반 시뮬레이션을 구현했습니다. \(t\) =1,000,000. 그림 7은 두 가지 복원 전략의 시간 전환을 보여줍니다. \(t\)= 800. 표 2는 결과를 보여준다. 계산은 Intel Core i7 3.5 GHz 및 C 프로그래밍 언어가 탑재된 PC를 사용하여 수행되었습니다. 우선순위 복원의 계산 비용은 크지만 이 시스템의 중복 구조로 인해 우선순위 전략에 대한 모든 측정값이 증가합니다.
다음으로 우리는 가장자리에 있는 네트워크를 고려합니다. \(e_3, e_4, e_7, e_8, e_{10}\) 및 \(e_{12}\) 원래 네트워크에서 제거됩니다. 원래 네트워크의 중복성이 제거되고 하나 이상의 에지가 실패하면 이 네트워크도 실패합니다. Table 3은 충격 발생률과 복원률이 이전 실험과 동일할 때의 결과를 보여준다. 우선순위 전략을 사용하면 운영 탄력성이 향상되는 반면 두 전략의 운영 가용성 차이는 작습니다.
4.3 마르코프 분석을 통한 운영 탄력성
네트워크 시스템의 상태 전이는 연속시간 Markov 체인으로 설명됩니다. \(2^m\) 상태. 성능 \(P(t)\) 상태에 따라 다름 \(t\). 허락하다 \(p_i\) 정상상태 확률이고, \(P_i\) 국가의 성과가 되다 \(i\) \((i=1,\ldots, 2^m )\). 상태와 성능 사이에는 일대일 관계가 있습니다. 성능 \(P_i\) 주어진 상태에 대해 \(i\) 는 Eq.에 의해 유도된다. (3) 또는 Sect.에 주어진 알고리즘 1. 2.2. 허락하다 \(\bf A\) 상태 전이 행렬이 되고 \({\bf p}=(p_1,p_2, \ldots, p_{2^m})\) 상태 확률 벡터가 됩니다. 의 요소 \(\bf A\) CCF와 우선수리를 고려하여 구합니다. 예를 들어, 상태에서 전환 \(i\) 상태로 \(j\) CCF는
\[\begin{align*} a_{ij}=\sum_{d=f_j-f_i}^{f_j} \left( \begin{array}{c} f_i\\ d-(f_j-f_i) \end{array} \right)\lambda'_d \tag{11} \end{align*}\] |
상태에서 전환하는 경우 \(i\) 에 \(j\) 가능하고 그렇지 않으면 0입니다. 여기서는 \(f_i\), \(f_j\) 상태의 실패한 가장자리 수입니다. \(i\) 상태 \(j\), 각각. 그 상태를 참고하세요 \(i\) (\(j\))는 다음의 조합 중 하나인 특정 상태를 나타냅니다. \(f_i\) (\(f_j\)) 가장자리가 실패했습니다. 그러므로 상태로부터의 전환은 \(i\) 상태로 \(j\) CCF에 의한 최대 CCF로 제한되어야 합니다. \(f_j\) 상태 간의 모든 차이를 포함한 동시 실패 \(i\) 상태 \(j\). 이것이 Eq. (11) 의존하지 않는다 \(m-f_i\), 상태에서 작동하는 가장자리의 수 \(i\). 국가로부터의 복원을 위해 \(i\) 상태로 \(j\),
\[\begin{equation*} a_{ij}=\mu / |e_i^*| \tag{12} \end{equation*}\] |
선택한 상태에 대해 \(j\) 그게 만족스러웠어 \(f_j=f_i-1\), 그렇지 않으면 0, 여기서 \(e_i^*\) 실패한 상태 가장자리 내에서 선택된 가장자리입니다. \(i\) 식에 의해 주어진다. (4).
정상상태 확률은 다음 연립방정식에 의해 구해집니다.
\[\begin{eqnarray*} &&{\bf p}={\bf pA} \tag{13} \\ &&\sum_i p_i=1. \tag{14} \end{eqnarray*}\] |
그렇다면 운영 탄력성은 \(R_O\) 긴 작동 기간 동안 이는 Eq. (9) 시뮬레이션 연구에서 다음과 같은 기대에 의해 얻어집니다. \(P_i\) 다음과 같이
\[\begin{equation*} R_O=\sum_{i=1}^{2^m} P_i p_i. \tag{15} \end{equation*}\] |
Eq.에서 탄력성의 시간적 적분 표현에 유의하십시오. (1)은 Eq.에서 네트워크 성능에 대한 기대로 변환됩니다. (15). 복구 단계의 운영 탄력성 \(R_{OR}\) 식은 다음과 같다. (10), 여기서 \(A_O\) ~에 의해 주어진다.
\[\begin{equation*} A_O=\sum_{i; P_i=1} p_i. \tag{16} \end{equation*}\] |
4.4 근사
정상상태 확률 \(p_i\) 방정식에서. (15)는 모서리 수를 갖는 다차원 마르코프 분석에 의해 도출됩니다. \(m\) 차원으로. 네트워크 크기가 커질수록 상태의 개수는 기하급수적으로 증가하므로 그에 따라 계산이 어려워집니다. 이 문제를 위해 우리는 실패한 에지의 수를 상태로 간주하여 마르코프 분석의 차원을 1로 축소하는 근사 방법을 제안합니다. 이 경우 상태의 수는 다음과 같습니다. \(m+1\). 허락하다 \(p'_i\), \(P'_i\) 정상 상태 확률과 성능 척도 \(i\) 실패한 가장자리. 그런 다음 대략적인 운영 복원력 \(R'_O\) 오랜 운영기간 동안
\[\begin{equation*} R'_O=\sum_{i=0}^{m} P'_i p'_i. \tag{17} \end{equation*}\] |
복구 단계의 대략적인 운영 탄력성 \(R'_{OR}\), 는 Eq.와 같은 방식으로 주어진다. (10).
확률 \(p'_i\) 방정식에서. (17)은 XNUMX차원 Markov chain으로 쉽게 구할 수 있지만 \(P'_i\) 아니다. 상태 \(i\),가 \(M_i=\Bigl( \begin{array}{c} m \\i \end{array} \Bigr)\) 하위 상태. \(P'_i\) 는 이러한 하위 상태의 예상 성능 측정값이며 성능 측정값과 각 하위 상태의 확률에 의해 결정됩니다. 이는 우선 수리로 인해 다릅니다. 하위 상태의 확률에 대해 우리는 다음과 같이 두 가지 근사치를 제안합니다.
근사치 1:
이 근사치는 다음과 같습니다. \(P'_i\) 모든 하위 상태의 평균으로 \(i\) 실패한 모서리, 즉
\[\begin{equation*} P'_i={1 \over M_i}\sum_{k=1}^{M_i} P_{i,k}, \tag{18} \end{equation*}\] |
어디에, \(P_{i,k}\) 하위 상태의 성능입니다. \(k\) 상태에서 \(i\). 이는 모든 하위 상태가 동일한 확률을 갖는다고 가정하여 제공됩니다. 그러면 무작위 수리에 해당합니다. 따라서 이 근사치는 운영 탄력성의 하한을 제공합니다. 이 근사치는 복잡한 네트워크의 경우 복잡할수록 우선순위 복구 전략의 효과가 적다는 사실에 기초합니다. 근사치 1의 근사 운영 탄력성과 복구 단계의 근사 운영 탄력성은 다음과 같이 표시됩니다. \(R'_{O1}\) 및 \(R'_{OR1}\)각각.
근사치 2:
이 근사치는 하위 상태의 확률이 연결된 노드 수에 비례한다고 가정합니다. \(P'_i\) 다음과 같이 주어진다.
\[\begin{equation*} P'_i=\sum_{k=1}^{M_i} {s_{i,k} \over s_i}P_{i,k}, \tag{19} \end{equation*}\] |
어디에, \(s_{i,k}\) 하위 상태의 연결된 노드 수입니다. \(k\) 상태에서 \(i\) 및 \(s_i=\sum_k s_{i,k}\). 우선순위 수리 전략으로 인해 연결성이 높은 하위 상태가 발생할 확률이 커진다는 아이디어에 기반합니다. 근사치 2의 근사 운영 탄력성과 복구 단계의 근사 운영 탄력성은 다음과 같이 표시됩니다. \(R'_{O2}\) 및 \(R'_{OR2}\)각각.
이러한 근사치를 사용하면 1차원 마르코프 체인을 사용하여 운영 복원력과 복구 단계의 운영 복원력을 계산하는 것이 가능해집니다.
예제 3
Gauss-Seidel 방법은 정상상태 확률을 풀기 위해 사용됩니다. \(p_i\) 방정식에서. (13), (14) 및 \(p'_i\) 방정식에서. (17). 표 4(5)는 다음과 같다. \(R_O\) (\(R_{OR}\)) 및 그 근사치 \(R'_{O1}\), \(R'_{O2}\) (\(R'_{OR1}\), \(R'_{OR2}\)) 여러 네트워크의 경우. 만약에 \(m=n-1\), 이는 최소 에지 그래프입니다. 그렇지 않은 경우 \(m=n(n-1)/2\), 양방향 간선이 있는 완전한 그래프. 값은 완전한 그래프를 제외하고 무작위로 생성된 100개의 네트워크[20]의 평균을 나타냅니다. 매개변수는 다음과 같습니다. \(\lambda_1=0.1\), \(\lambda_{r+1}=\lambda_r /5\) \((1\leq r<m)\), \(\mu=0.5\). \(R_O\) 및 \(R_{OR}\) 식으로 주어진다. (15), 식. (10) 각각. 그러나 별표가 있는 값은 계산 리소스(메모리 저장 요구 사항)의 한계로 인해 Monte Carlo 시뮬레이션 결과를 나타냅니다. 계수 행렬 A 방정식에서. (13)은 CCF로 인해 밀도가 높으며 크기는 다음과 같습니다. \(2^{20} \times 2^{20}\) 언제 \(m=20\). Diffs는 상대적인 차이를 보여줍니다. \((\%)\)즉, 차이 1 =\((R'_{O1}-R_O)/R_O\times 100\), 차이 2 =\((R'_{O2}-R_O)/R_O\times 100\), 차이 3 =\((R'_{OR1}-R_{OR})/R_{OR}\times 100\) 그리고 차이점 4 =\((R'_{OR2}-R_{OR})/R_{OR}\times 100\).
Table 4에서는 모든 경우에 있어서 오차가 상대적으로 작으며, Approximation 2는 Approximation 1에 비해 오차가 작다. 그러나 특히 완전한 그래프에서는 그 차이가 다소 작다. 또한 근사 1이 하한을 제공한다는 것을 확인할 수 있습니다. Table 5에서는 Table 4에 비해 오차가 커진다. 그리고촘촘한 그래프(완전한 그래프)에서는 Approximation 1이 Approximation 2보다 우수함을 알 수 있다.
CCF의 영향을 검증하기 위해 CCF를 고려하지 않은 결과를 Table 6에 나타내었다. 전체 고장률은 그렇지만 \(\lambda\) 각 네트워크의 오류는 이전 예와 동일하며 오류는 독립적인 오류로 제한됩니다. 즉, \(\alpha_1=1, \alpha_r=0\) for \(r\geq 2\), \(\lambda_1= \lambda\), \(\lambda_r=0\) for \(r\geq 2\) 모든 경우에. 표 4와 5에 비해 운영 복원력과 복구 단계의 운영 복원력이 모두 증가한 것을 확인할 수 있습니다. CCF를 무시한 분석은 복원력을 과대평가한 것입니다.
5. 결론
본 연구에서는 대상 네트워크에 전력망을 가정하고 우선순위 복원을 수행한 네트워크 시스템의 회복탄력성에 대해 논의하였다. 복원력에는 두 가지 유형이 논의되었는데, 하나는 기존 복원력 정의에 따른 복구 단계의 복원력이고, 다른 하나는 네트워크 상태가 확률적으로 변화하는 장기 운영을 고려한 정상 상태 운영 복원력이었습니다. 첫 번째 유형의 복원력에 대해서는 (1) 네트워크 성능 저하가 주어지고, (2) 실패한 모든 에지에 대해 지정된 순서에 따라 하나씩 복원이 수행되고, (3) 가정하에 복원력이 쉽게 공식화됨을 보여주었습니다. ) 수리 시간의 분포는 알려진 평균과 동일했습니다. 이 경우 평균 복원력은 수리 순서에 의해서만 결정됩니다. 두 번째 탄력성은 시스템에 대한 포괄적인 탄력성 용량을 제공하며 Markov 분석에 의해 파생되었습니다. 이는 본 논문의 가장 주목할만한 성과이다. 분석에는 대규모 중단 발생을 나타내기 위해 공통 원인 고장이 포함되었습니다. 장기간의 운영 기간 동안 네트워크의 복원력을 추정하기 위해 두 가지 복원력 측정 방법(II-a) 운영 복원력과 (II-b) 복구 단계의 운영 복원력이 새로 제안되었습니다. II-b의 운용 복원력은 기존 복원력을 장기 운용에 적용한 척도이다. 유형 II 탄력성에 대한 분석 방법의 경우 복잡한 네트워크에 대한 두 가지 근사치가 제안되었습니다. 공통 원인 오류가 발생하면 네트워크 복원력이 크게 감소합니다. 복원 전략의 유효성이 검증되었습니다. 본 논문의 분석은 네트워크에 소스가 하나만 있고, 네트워크 성능은 소스와의 연결성으로 측정되었으며, 복원 용량은 제한되어 있고, 충격 발생 분포와 복원 분포가 모두 기하급수적이라는 조건을 기반으로 했습니다. (마지막 조건은 마르코프 분석에 기초한 수학적 프레임워크에만 사용됩니다.) 이러한 조건을 완화하는 것은 향후 연구에 흥미롭습니다. 또한, 탄력성 공학 연구를 발전시키기 위해서는 보다 복잡한 네트워크에 대한 보다 효과적인 근사 방법을 얻는 것이 필요합니다.
감사의
이 연구는 JSPS(일본 과학 진흥회) KAKENHI 보조금 번호 20K05021의 일부 지원을 받았습니다.
참고문헌
[1] C.S. Holling, “Resilience and stability of ecological systems,” Annual Review of Ecology and Systematics, vol.4, no.1, pp.1-23, 1973.
CrossRef
[2] M. Bruneau, S.E. Chang, R.T. Eguchi, G.C. Lee, T.D. O’Rourke, A.M. Reinhorn, M. Shinozuka, K. Tierney, W.A. Wallace, and D. Winterfeldt, “A framework to quantitatively assess and enhance the seismic resilience of communities,” Earthquake Spectra, vol.19, no.4, pp.733-752, 2003.
CrossRef
[3] M. Ouyang, L. Dueñas-Osorio and X. Min, “A three-stage resilience analysis framework for urban infrastructure systems,” Structural Safety, vol.36-37, pp.23-31, 2012.
CrossRef
[4] G. Hug-Glanzmann and G. Andersson, “N-1 security in optimal power flow control applied to limited areas,” IET Generation, Transmission & Distribution, vol.3, no.2, pp.206-215, 2009.
CrossRef
[5] S.A. Nezam-Sarmadi, S. Nourizadeh, S. Azizi, R. Rahmat-Samii, and A.M. Ranjbar, “A power system build-up restoration method based on wide area measurement systems,” Euro. Trans. Electr. Power, vol.21, no.1, pp.712-720, 2011.
CrossRef
[6] A.A. Mota, L.T.M. Mota, and A. Morelato, “Visualization of power system restoration plans using CPM/PERT graphs,” IEEE Trans. Power Syst., vol.22, no.3, pp.1322-1329, 2007.
CrossRef
[7] A.C. Caputo, P.M. Pelagagge, and P. Salini, “A methodology to estimate resilience of manufacturing plants,” Proc. 9th IFAC Conference on Manufacturing Modelling, Management and Control (MIM 2019), pp.808-813, 2019.
CrossRef
[8] D. Guzs, A. Utans, and A. Sauhats, “Evaluation of the resilience of the Baltic power system when operating in island mode,” Proc. 31th European Safety and Reliability Conference, WEiJ:056, Anger, France, 2021.
CrossRef
[9] G. Ziwei and Y. Fei, “Research on resilience evaluation method of train operation control system based on random failure,” Transport Reviews, vol.40, no.4, pp.457-478, 2020.
[10] A.A. Ganin, E. Massaro, A. Gutfraind, N. Steen, J.M. Keisler, A. Kott, R. Mangoubi, and I. Linkov, “Operational resilience: Concepts, design and analysis,” Sci. Rep., vol.6, 19540, 2016.
CrossRef
[11] G.P. Cimellaro, A.M. Reinhorn, and M. Bruneau, “Framework for analytical quantification of disaster resilience,” Engineering Structures, vol.32, no.11, pp.3639-3649, 2010.
CrossRef
[12] D.A. Reed, M.D. Powell, and J.M. Westerman, “Energy supply system performance for hurricane Katrina,” Journal of Energy Engineering, vol.136, no.4, pp.95-102, 2010.
CrossRef
[13] B. Cassottana, L. Shen, and L.C. Tang, “Modeling the recovery process: A key dimension of resilience,” Reliability Engineering and System Safety, vol.190, pp.1-10, 2019.
CrossRef
[14] U.S. Nuclear Regulatory Commission, Guidelines on Modeling Common-Cause Failures in Probabilistic Risk Assessment, NUREG/CR5485, 1998.
[15] U.S. Nuclear Regulatory Commission, PRA Procedures Guide, NUREG/ CR2300, 1983.
[16] U.S. Nuclear Regulatory Commission, Parameter Estimations, NUREG/CR6268, 2015.
[17] A.W. Marshall and I. Olkin, “A multivariate exponential distribution,” J. Amer. Statist. Assoc., vol.62, no.317, pp.30-44, 1967.
CrossRef
[18] W.E. Vesely, “Estimating common-cause failure probabilities in reliability and risk analyses: Marshall-Olkin specializations,” Nuclear Systems Reliability Engineering and Risk Assessment, J.B. Fussell and G.R. Burdick, eds., Society of Industrial and Applied Mathematics, 1977.
[19] H. Mori, “Current status of reliability assessment in power systems,” Journal of Reliability Engineering Association of Japan, vol.30, no.4, pp.317-327, 2008 (in Japanese).
CrossRef
[20] P. Erdös and A. Rényi, “On random graphs I,” Publicationes Mathematicae, vol.6, pp.290-297, 1959.
CrossRef